Matemática básica Ejemplos

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \div \frac{6 a^{2} + 10 a}{1 - 6 a + 9 a^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{1 - 6 a + 9 a^{2}}{6 a^{2} + 10 a}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{1^{2} - 6 a + 9 a^{2}}{6 a^{2} + 10 a}$

Paso 2.2

Reescribe $9 a^{2}$ como ${(3 a)}^{2}$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{1^{2} - 6 a + {(3 a)}^{2}}{6 a^{2} + 10 a}$

Paso 2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 a = 2 \cdot 1 \cdot (3 a)$

Paso 2.4

Reescribe el polinomio.

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (3 a) + {(3 a)}^{2}}{6 a^{2} + 10 a}$

Paso 2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = 3 a$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{6 a^{2} + 10 a}$

Paso 3

Factoriza $2 a$ de $6 a^{2} + 10 a$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2 a$ de $6 a^{2}$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a) + 10 a}$

Paso 3.2

Factoriza $2 a$ de $10 a$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a) + 2 a (5)}$

Paso 3.3

Factoriza $2 a$ de $2 a (3 a) + 2 a (5)$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 4

Para escribir $\frac{2 a}{3 a + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - 3 a}{1 - 3 a}$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} \cdot \frac{1 - 3 a}{1 - 3 a} + \frac{3 a}{1 - 3 a}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 5

Para escribir $\frac{3 a}{1 - 3 a}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 a + 1}{3 a + 1}$ .

$(\frac{2 a}{3 a + 1} \cdot \frac{1 - 3 a}{1 - 3 a} + \frac{3 a}{1 - 3 a} \cdot \frac{3 a + 1}{3 a + 1}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 6

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 a + 1) (1 - 3 a)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{2 a}{3 a + 1}$ por $\frac{1 - 3 a}{1 - 3 a}$ .

$(\frac{2 a (1 - 3 a)}{(3 a + 1) (1 - 3 a)} + \frac{3 a}{1 - 3 a} \cdot \frac{3 a + 1}{3 a + 1}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{3 a}{1 - 3 a}$ por $\frac{3 a + 1}{3 a + 1}$ .

$(\frac{2 a (1 - 3 a)}{(3 a + 1) (1 - 3 a)} + \frac{3 a (3 a + 1)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 6.3

Reordena los factores de $(3 a + 1) (1 - 3 a)$ .

$(\frac{2 a (1 - 3 a)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} + \frac{3 a (3 a + 1)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)}) \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 a (1 - 3 a) + 3 a (3 a + 1)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Factoriza $a$ de $2 a (1 - 3 a) + 3 a (3 a + 1)$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $a$ de $2 a (1 - 3 a)$ .

$\frac{a (2 (1 - 3 a)) + 3 a (3 a + 1)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.1.2

Factoriza $a$ de $3 a (3 a + 1)$ .

$\frac{a (2 (1 - 3 a)) + a (3 (3 a + 1))}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.1.3

Factoriza $a$ de $a (2 (1 - 3 a)) + a (3 (3 a + 1))$ .

$\frac{a (2 (1 - 3 a) + 3 (3 a + 1))}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (2 \cdot 1 + 2 (- 3 a) + 3 (3 a + 1))}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{a (2 + 2 (- 3 a) + 3 (3 a + 1))}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{a (2 - 6 a + 3 (3 a + 1))}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (2 - 6 a + 3 (3 a) + 3 \cdot 1)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{a (2 - 6 a + 9 a + 3 \cdot 1)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{a (2 - 6 a + 9 a + 3)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.8

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{a (- 6 a + 9 a + 5)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 8.9

Suma $- 6 a$ y $9 a$ .

$\frac{a (3 a + 5)}{(1 - 3 a) (3 a + 1)} \cdot \frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{2 a (3 a + 5)}$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Combinar.

$\frac{a (3 a + 5) {(1 - 3 a)}^{2}}{(1 - 3 a) (3 a + 1) (2 a (3 a + 5))}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{a (3 a + 5) {(1 - 3 a)}^{2}}{(1 - 3 a) (3 a + 1) (2 a (3 a + 5))}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 a + 5) {(1 - 3 a)}^{2}}{(1 - 3 a) (3 a + 1) (2 (3 a + 5))}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $3 a + 5$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 a + 5) {(1 - 3 a)}^{2}}{(1 - 3 a) (3 a + 1) (2 (3 a + 5))}$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(1 - 3 a)}^{2}}{(1 - 3 a) (3 a + 1) \cdot (2)}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de ${(1 - 3 a)}^{2}$ y $1 - 3 a$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $1 - 3 a$ de ${(1 - 3 a)}^{2}$ .

$\frac{(1 - 3 a) (1 - 3 a)}{(1 - 3 a) (3 a + 1) \cdot (2)}$

Paso 9.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.2.1

Factoriza $1 - 3 a$ de $(1 - 3 a) (3 a + 1) \cdot (2)$ .

$\frac{(1 - 3 a) (1 - 3 a)}{(1 - 3 a) ((3 a + 1) \cdot (2))}$

Paso 9.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 - 3 a) (1 - 3 a)}{(1 - 3 a) ((3 a + 1) \cdot (2))}$

Paso 9.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 3 a}{(3 a + 1) \cdot (2)}$

Paso 9.5

Mueve $2$ a la izquierda de $3 a + 1$ .

$\frac{1 - 3 a}{2 (3 a + 1)}$